已知数列{an}满足an+1=2anan+2,an≠0,且a1=12,cn=(2-2anan)(12)n(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列,并求
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已知数列{an}满足an+1=2anan+2,an≠0,且a1=12,cn=(2-2anan)(12)n(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列,并求
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足
a
n+1
=
2
a
n
a
n
+2
,
a
n
≠0
,且
a
1
=
1
2
,
c
n
=(
2-2
a
n
a
n
)(
1
2
)
n
(n∈
N
*
)
.
(Ⅰ)求证:数列
{
1
a
n
}
是等差数列,并求通项a
n
;
(Ⅱ)求T
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
的值.
答案
(Ⅰ)∵
a
n+1
=
2
a
n
a
n
+2
,
a
n
≠0
,
1
a
n+1
=
1
a
n
+
1
2
,
数列
{
1
a
n
}
是首项为
1
a
1
=2,公差为
1
2
的等差数列,
故
1
a
n
=
1
a
1
+
1
2
(n-1)
=
1
2
n+
3
2
所以数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
2
n+3
,
(Ⅱ)∵
C
n
=(n+1)•
(
1
2
)
n
∴
T
n
=2×
1
2
+3×(
1
2
)
2
+…+(n+1)×
(
1
2
)
n
①
1
2
T
n
= 2×(
1
2
)
2
+3×
(
1
2
)
3
+…+(n+1)×
(
1
2
)
n+1
②
由①-②得
1
2
T
n
=1+
(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
-(n+1)
(
1
2
)
n+1
=
1+
1
4
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(n+1)•
(
1
2
)
n+1
=
3
2
-
n+3
2
n+1
∴
T
n
=3-
n+3
2
n
举一反三
等差数列{a
n
}中,若a
2
+a
3
+a
10
+a
11
=32中,则a
6
+a
7
=( )
A.9
B.12
C.15
D.16
题型:不详
难度:
|
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设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,S
4
=14,S
10
-S
7
=30,则S
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列
(1)若a
2
,b
2
,c
2
成等差数列,证明b+c,c+a,a+b成调和数列;
(2)设S
n
是调和数列
{
1
n
}
的前n项和,证明对于任意给定的实数N,总可以找到一个正整数m,使得当n>m时,S
n
>N.
题型:不详
难度:
|
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已知一个等差数列的前三项分别为-1,x,3,则它的第五项为______.
题型:不详
难度:
|
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若a,b,c成等比数列,且公比q≠-1,x为a,b的等差中项,y为b,c的等差中项,则
a
x
+
c
y
=______.
题型:不详
难度:
|
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