如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列(1)若a2,b2,c2成等差数列,证明b+c,c+a,a+b成调和数列;(2)设Sn是调和数列{

如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列(1)若a2,b2,c2成等差数列,证明b+c,c+a,a+b成调和数列;(2)设Sn是调和数列{

题型:不详难度:来源:
如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列
(1)若a2,b2,c2成等差数列,证明b+c,c+a,a+b成调和数列;
(2)设Sn是调和数列{
1
n
}
的前n项和,证明对于任意给定的实数N,总可以找到一个正整数m,使得当n>m时,Sn>N.
答案
证明:(1)欲证b+c,c+a,a+b成调和数列,
只须证
2
c+a
=
1
b+c
+
1
a+b

只须证2(b+c)(a+b)=(c+a)(a+b)+(c+a)(b+c)
化简后,只须证2b2=a2+c2
因为a2,b2,c2成等差数列,所以2b2=a2+c2成立
所以b+c,c+a,a+b成调和数列
(2)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

S2k=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2k
  >1+
1
2
+(
1
4
+
1
4
)+(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
  +…+(
1
2k
+
1
2k
+ …+
1
2k
)
 = 1+
1
2
+
1
2
+…+
1
2
=1+
k
2

对于任一给定的N,欲使Sn>N,
只须1+
k
2
>N

即k>2(N-1),
取m=[22(N-1)]+1(其中[22(N-1)]表示22(N-1)的整数部分),
则当n>m时,Sn>N.
(本题解法和答案不唯一)
举一反三
已知一个等差数列的前三项分别为-1,x,3,则它的第五项为______.
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若a,b,c成等比数列,且公比q≠-1,x为a,b的等差中项,y为b,c的等差中项,则
a
x
+
c
y
=______.
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在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k=(  )
A.22B.23C.24D.25
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Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2+a4+a15是一个确定的常数,则在下列各数中也是确定常数的项是______(填上你认为正确的值的序号)
①S7②S8③S13④S16
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在设Sn、Tn是等差数列{an}、{bn}的前n项和,若
an
bn
=
n+47
2n-1
,则
S119
T119
=(  )
A.
n+47
2n-1
B.
119
107
C.
107
119
D.
166
237
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