数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差
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数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列; (Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值. |
答案
(Ⅰ)由,知b1,b3是方程x2-5x+4=0的两根, 注意到bn+1>bn,得b1=1,b3=4.(2分) ∴b22=b1b3=4,⇒b2=2. ∴b1=1,b2=2,b3=4 ∴等比数列.{bn}的公比为=2, ∴bn=b1qn-1=2n-1(4分) (Ⅱ)an=log2bn+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2(5分) ∴an+1-an=[(n+1)+2]-[n+2]=1(7分) ∴数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列 ∴a1+a2+a3++am=m×3+×1=3m+(10分) 又a40=42 由a1+a2+a3++am≤a40,得3m+≤42 整理得m2+5m-84≤0,解得-12≤m≤7. ∴m的最大值是7.(12分) |
举一反三
已知等差数列{an} 中,a7=3,则数列{an} 的前13项之和为( ) |
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a5+a6(O为坐标原点),且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S10等于( ) |
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a2-1)3+2010(a2-1)=1,(a2009-1)3+2010(a2009-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为______. ①S2009=2009;②S2010=2010;③a2009<a2;④S2009<S2. |
已知数列{an}中,a1=0,an+1=,n∈N*. (1)求证:{}是等差数列;并求数列{an}的通项公式; (2)假设对于任意的正整数m、n,都有|bn-bm|<ω,则称该数列为“ω域收敛数列”.试判断:数列bn=an•(-)n,n∈N*是否为一个“域收敛数列”,请说明你的理由. |
设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x<(2n-1)x(n∈N′)的解集中整数的个数. (1)求an并且证明{an}是等差数列; (2)设m、k、p∈N*,m+p=2k,求证:+≥; (3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由. |
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