(1)①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0. 若删去a2,则a32=a1•a4,即(a1+2d)2=a1•(a1+3d)化简得a1+4d=0,得=-4 若删去a3,则a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1•(a1+3d)化简得a1-d=0,得=1 综上,得=-4或=1. ②当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5,否则出现连续三项. 若删去a3,则a1•a5=a2•a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)•(a1+3d)化简得3d2=0,因为d≠0,所以a3不能删去; 当n≥6时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an中,由于不能删去首项或末项, 若删去a2,则必有a1•an=a3•an-2,这与d≠0矛盾; 同样若删去an-1也有a1•an=a3•an-2,这与d≠0矛盾; 若删去a3,,an-2中任意一个,则必有a1•an=a2•an-1,这与d≠0矛盾.(或者说:当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项) 综上所述,n=4. (2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,bn,其中bx+1,by+1,bz+1(0≤x<y<z≤n-1)为任意三项成等比数列,则b2y+1=bx+1•bz+1,即(b1+yd)2=(b1+xd)•(b1+zd),化简得(y2-xz)d2=(x+z-2y)b1d(*) 由b1d≠0知,y2-xz与x+z-2y同时为0或同时不为0 当y2-xz与x+z-2y同时为0时,有x=y=z与题设矛盾. 故y2-xz与x+z-2y同时不为0,所以由(*)得= 因为0≤x<y<z≤n-1,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数. 于是,对于任意的正整数n(n≥4),只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列. 例如n项数列1,1+,1+2,,1+(n-1)满足要求. |