已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<

已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<

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已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3…).
答案
(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R),由a7=a1q6=1,得a1=q-6
从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1).
所以q=
1
2
.故an=a1qn-1=q-6qn-1=64(
1
2
n-1=27-n
(2)又等比数列前n项和的公式可知:
Sn=
a1(1-qn)
1-q
=
64[1-(
1
2
)n ]
1-
1
2
=128[1-(
1
2
n]<128.
举一反三
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*
(Ⅰ)求a1
(Ⅱ)证明{an}是等差数列并求数列的通项公式.
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F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左右焦点,直线l与C相交于A,B两点
(1)直线l斜率为1且过点F1,若|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,,求a值
(2)若直线l方程为y=2x+2,且OA⊥OB,求a值.
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已知4是2,x的等差中项,则x的值为______.
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在等差数列{an}中,a2+a4=4,a3+a5=10,则该数列的公差为______.
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数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),Sn=(m+1)-man对任意的n∈N*都成立,其中m为常数,且m<-1.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)记数列{an}的公比为q,设q=f(m).若数列{bn}满足;b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N*).求证:数列{
1
bn
}
是等差数列;
(3)在(2)的条件下,设cn=bn•bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:Tn<1.
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
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