已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*,(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的

已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*,(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的

题型:成都二模难度:来源:
已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)问是否存在k∈N*,使得ak-bk∈(
1
2
,3]
?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题设可知,bn=4×(
1
2
)n-1=(
1
2
)n-3

∵a2-a1=-2,a3-a2=-1,
∴an+1-an=-2+(n-1)×1=n-3,
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+
(n-1)(n-6)
2

an=
n2-7n+14
2

(Ⅱ)设cn=an-bn=
n2-7n+14
2
-(
1
2
)n-3

显然,n=1,2,3时,cn=0,
cn+1-cn=(n-3)+(
1
2
)n-2

∴当n=3时,c4-c3=
1
2
,∴a4-b4=
1
2

当n=4时,c5-c4=
5
4
,∴a5-b5=
7
4

当n=5时,c6-c5=
17
8
,∴a6-b6=
31
8
>3

当n≥6时,cn+1-cn=(n-3)+(
1
2
)n-2>3
恒成立,
∴cn+1=an+1-bn+1>3+cn>3恒成立,
∴存在k=5,使得ak-bk∈(
1
2
,3]
举一反三
等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项是第______项.
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已知
1
a
1
b
1
c
成等差数列,求证
b+c
a
c+a
b
a+b
c
也成等差数列.
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若数列{an}满足
1
an+1
-
1
an
=d
,(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{
1
xn
}
为调和数列,且x1+x2+x3+…+x20=200,则x1+x20=______;x3x18的最大值等于______.
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已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3•a4=117,a2+a5=22,
(1)求通项an
(2)若数列{bn}满足bn=
Sn
n+c
,是否存在非零实数c,使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值,若不存在,说明理由.
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在等差数列{an}中,3a8=5a13,且a1>0,Sn为其前n项和,问Sn取最大值时,n的值是多少?
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