已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*,(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的
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已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*,(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的
题型:成都二模
难度:
来源:
已知数列{a
n
}和等比数列{b
n
}满足:a
1
=b
1
=4,a
2
=b
2
=2,a
3
=1,且数列{a
n+1
-a
n
}是等差数列,n∈N
*
,
(Ⅰ)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)问是否存在k∈N
*
,使得
a
k
-
b
k
∈(
1
2
,3]
?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题设可知,
b
n
=4×(
1
2
)
n-1
=(
1
2
)
n-3
,
∵a
2
-a
1
=-2,a
3
-a
2
=-1,
∴a
n+1
-a
n
=-2+(n-1)×1=n-3,
∴a
n
=a
1
+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)++(a
n
-a
n-1
)=
4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+
(n-1)(n-6)
2
,
∴
a
n
=
n
2
-7n+14
2
.
(Ⅱ)设
c
n
=
a
n
-
b
n
=
n
2
-7n+14
2
-(
1
2
)
n-3
,
显然,n=1,2,3时,c
n
=0,
又
c
n+1
-
c
n
=(n-3)+(
1
2
)
n-2
,
∴当n=3时,
c
4
-
c
3
=
1
2
,∴
a
4
-
b
4
=
1
2
,
当n=4时,
c
5
-
c
4
=
5
4
,∴
a
5
-
b
5
=
7
4
,
当n=5时,
c
6
-
c
5
=
17
8
,∴
a
6
-
b
6
=
31
8
>3
,
当n≥6时,
c
n+1
-
c
n
=(n-3)+(
1
2
)
n-2
>3
恒成立,
∴c
n+1
=a
n+1
-b
n+1
>3+c
n
>3恒成立,
∴存在k=5,使得
a
k
-
b
k
∈(
1
2
,3]
.
举一反三
等差数列{a
n
}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项是第______项.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
1
a
,
1
b
,
1
c
成等差数列,求证
b+c
a
,
c+a
b
,
a+b
c
也成等差数列.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若数列{a
n
}满足
1
a
n+1
-
1
a
n
=d
,(n∈N
*
,d为常数),则称数列{a
n
}为调和数列.已知数列
{
1
x
n
}
为调和数列,且x
1
+x
2
+x
3
+…+x
20
=200,则x
1
+x
20
=______;x
3
x
18
的最大值等于______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知公差大于零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足a
3
•a
4
=117,a
2
+a
5
=22,
(1)求通项a
n
;
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=
Sn
n+c
,是否存在非零实数c,使得{b
n
}为等差数列?若存在,求出c的值,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,3a
8
=5a
13
,且a
1
>0,S
n
为其前n项和,问S
n
取最大值时,n的值是多少?
题型:不详
难度:
|
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