已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=12,an+2SnSn-1=0(n≥2).(Ⅰ)问:数列{1Sn}是否为等差数列?并证明你的结论;(Ⅱ)求Sn和a
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=12,an+2SnSn-1=0(n≥2).(Ⅰ)问:数列{1Sn}是否为等差数列?并证明你的结论;(Ⅱ)求Sn和a
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足
a
1
=
1
2
,a
n
+2S
n
S
n-1
=0(n≥2).
(Ⅰ)问:数列
{
1
S
n
}
是否为等差数列?并证明你的结论;
(Ⅱ)求S
n
和a
n
.
答案
(Ⅰ)数列
{
1
S
n
}
是以2为首项,2为公差的等差数列.证明如下:
∵n≥2时,a
n
+2S
n
S
n-1
=0,∴S
n
-S
n-1
+2S
n
S
n-1
=0
∴
1
S
n
-
1
S
n-1
=2
∵
a
1
=
1
2
,∴
1
S
1
=2
∴数列
{
1
S
n
}
是以2为首项,2为公差的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1
S
n
=2+2(n-1)=2n,∴S
n
=
1
2n
;
∵n≥2时,a
n
+2S
n
S
n-1
=0,
∴a
n
=-2×
1
2n
×
1
2(n-1)
=
1
2n(1-n)
∴a
n
=
1
2
,n=1
1
2n(1-n)
,n≥2
.
举一反三
若数列{a
n
}是等差数列,前n项和为S
n
,
a
5
a
3
=
5
9
,则
S
9
S
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,S
10
=10,S
20
=30,则S
30
=
______
.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=1,3a
n
a
n-1
+a
n
-a
n-1
=0(n≥2)
(Ⅰ)证明:
{
1
a
n
}
是等差数列;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项;
(Ⅲ)若
λ
a
n
+
1
a
n+1
≥λ
对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}各项均为正数,其前n项和为S
n
,且满足
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
.
(Ⅰ)求证数列{
S
2n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2
4S
4n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
,并求使T
n
>
1
6
(m
2
-3m) 对所有的n∈N
*
都成立的最大正整数m的值.
题型:不详
难度:
|
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