设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn
题型:杭州二模难度:来源:
设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn. (1)求证:数列{xn}是等比数列; (2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值; (3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵点Pn(xn,Sn),Pn+1(xn+1,Sn+1)都在直线y=kx+b上, ∴Sn=kxn+b,Sn+1=kxn+1+b 两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn,即xn+1=kxn+1-kxn, ∵常数k≠0,且k≠1,∴=(非零常数) ∴数列xn是等比数列. (2)由yn=log0.5xn,得xn=()yn=8n-6=8-58n-1, ∴=8,得k=. 又Pn在直线上,得Sn=kxn+b, 令n=1得b=S1-x1=-x1=-. (3)∵yn=log0.5xn∴当n>M时,xn>1恒成立等价于yn<0恒成立. 又yn=log0.5xn=log0.5(x1•qn-1)=nlog0.5q+log0.5 ∴数列{yn}为等差数列 ∵存在t,s∈N*,使得(t,ys)和(s,yt)都在y=2x+1上, ∴ys=2t+1 ①,yt=2s+1 ②. ①-②得:ys-yt=2(t-s), ∵s≠t∴yn是公差d=-2<0的等差数列 ①+②得:ys+yt=2(t+s)+2, 又ys+yt=y1+(s-1)•(-2)+y1+(t-1)•(-2)=2y1-2(s+t)+4 由2y1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y1=2(t+s)-1>0, 即:数列{yn}是首项为正,公差为负的等差数列, ∴一定存在一个最小自然数M,使,即 | 2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥0 | 2(t+s)-1+M(-2)<0 |
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解得t+s-<M≤t+s+.∵M∈N*,∴M=t+s. 即存在自然数M,其最小值为t+s,使得当n>M时,xn>1恒成立. |
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2). (Ⅰ)问:数列{}是否为等差数列?并证明你的结论; (Ⅱ)求Sn和an. |
若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,=,则=______. |
成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数. |
在等差数列{an}中,S10=10,S20=30,则S30=______. |
在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2) (Ⅰ)证明:{}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项; (Ⅲ)若λan+≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围. |
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