已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若存在常数t使
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若存在常数t使
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=n
2
+2n.数列{b
n
}中,b
1
=1,
b
n
=
a
b
n-1
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若存在常数t使数列{b
n
+t}是等比数列,求数列{b
n
}的通项公式;
(3)求证:①b
n+1
>2b
n
;②
1
b
1
+
1
b
2
+
1
b
3
+…+
1
b
n
<2-
1
b
n
.
答案
(1)n=1时,a
1
=S
1
=3,n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=(n
2
+2n)-(n-1)
2
-2(n-1)=2n+1,
且n=1时也适合此式,故数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+1;
(2)依题意,n≥2时,
b
n
=
a
b
n-1
=2
b
n-1
+1
,
∴b
n
+1=2(b
n-1
+1),又b
1
+1=2,
∴{b
n
+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
即存在常数t=2使数列{b
n
+t}是等比数列b
n
+1=2•2
n-1
=2
n
,即b
n
=2
n
-1.
(3)①b
n+1
-2b
n
=(2
n+1
-1)-2(2
n
-1)=1>0所以b
n+1
>2b
n
对一切自然数n都成立.
②由b
n+1
>2b
n
得
1
b
n+1
<
1
2
b
n
,设
S=
1
b
1
+
1
b
2
+
1
b
3
++
1
b
n
,
则S
<
1
b
1
+
1
2
b
1
+
1
2
b
2
+…+
1
2
b
n-1
=
1
b
1
+
1
2
(S-
1
2
b
n
)
,所以
S<
2
b
1
-
1
b
n
=2-
1
b
n
.
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和为 S
n
=
n+1
2
a
n
(n∈N*),且a
1
=2.数列{b
n
}满足b
1
=0,b
2
=2,
b
n+1
b
n
=
2n
n-1
,n=2,3,….
(Ⅰ)求数列 {a
n
} 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 {b
n
} 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对于 n∈N
*
,
2
b
1
a
1
+
2
b
2
a
2
+…+
2
b
n
a
n
≥
2
n-1
-1
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}中,a
2
=3,a
4
+a
6
=18.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{b
n
}满足:b
n+1
=2b
n
,并且b
1
=a
5
,试求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:中山一模
难度:
|
查看答案
已知函数
F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)
(1)求
F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)
;
(2)已知数列{a
n
}满足a
1
=2,a
n+1
=F(a
n
),求数列{a
n
}的通项公式;
(3) 求证:a
1
a
2
a
3
…a
n
>
2n+1
.
题型:双流县三模
难度:
|
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S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,a
5
=11,
S
5
=35
.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
a
a
n
(a是实常数,且a>0),求{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
6
=36.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项a
n
;
(Ⅱ)设
b
n
=
2
a
n
+1
2
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:孝感模拟
难度:
|
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