(1)当n=1时,有a13=a12, 由于an>0,所以a1=1. 当n=2时,有a13+a23=(a1+a2)2, 将a1=1代入上式,由于an>0,所以a2=2. (2)由于a13+a23++an3=(a1+a2++an)2,① 则有a13+a23++an3+an+13=(a1+a2++an+an+1)2.② ②-①,得an+13=(a1+a2++an+an+1)2-(a1+a2++an)2, 由于an>0,所以an+12=2(a1+a2++an)+an+1.③ 同样有an2=2(a1+a2++an-1)+an(n≥2),④ ③-④,得an+12-an2=an+1+an. 所以an+1-an=1. 由于a2-a1=1,即当n≥1时都有an+1-an=1,所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列. 故an=n. (3)由(2)知an=n,则==(-). 所以Sn=+++++=(1-)+(-)+(-)++(-)+(-)=(1+--)=-(+). ∵Sn+1-Sn=>0, ∴数列{Sn}单调递增. 所以(Sn)min=S1=. 要使不等式Sn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要>loga(1-a). ∵1-a>0,∴0<a<1. ∴1-a>a,即0<a<. 所以,实数a的取值范围是(0,). |