已知等差数列{an}满足:a2=5,a4+a6=22,数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan,设数列{bn}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求数列{an
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已知等差数列{an}满足:a2=5,a4+a6=22,数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan,设数列{bn}的前n项和为Sn. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求满足13<Sn<14的n的集合. |
答案
(I)∵a2=5,a4+a6=22, ∴a1+d=5,(a1+3d)+(a1+5d)=22, 解得:a1=3,d=2. ∴=2n+1…(2分) 在b1+2b2+…+2n-1bn=nan 中令n=1得:b1=a1=3, 又b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1, ∴2nbn+1=(n+1)an+1一nan. ∴2nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3, ∴bn+1=, ∴bn=(n≥2),…(5分) 经检验,b1=3也符合上式, 所以数列{bn}的通项公式为bn=…(6分) (Ⅱ)Sn=3+7•+…+(4n-1)•()n-1, Sn=3•+7•()2+…+(4n一5)•()n-1+(4n一1)()n.…(8分) 两式相减得:Sn=3+4[+()2+…+()n-1]一(4n一1)()n, ∴Sn=3+4•-(4n-1)()n, ∴Sn=14-. …(10分) ∴∀n∈N*,S<14. ∵数列{bn}的各项为正, ∴Sn单调递增, 又计算得S5=14-<13,S6=14->13, 满足13<Sn<14的n的集合为{n|n≥6,n∈N}. |
举一反三
数列{an}为等差数列,a3a7=-16,a4+a6=0,则{an}的通项公式为______. |
等差数列{an}中,a3+a5+a7+a9+a11=20,则a8-a9=( ) |
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设cn=,求证数列{cn}的前n和Rn<4; (III)设cn=an+(-1)nlog2bn,求数列{cn}的前2n和R2n. |
已知数列{an}中,a1=2,对于任意的p,q∈N*,有ap+q=ap+aq (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:an=-+-+…+(-1)n-1(n∈N*)求数列{bn}的通项公式; (3)设Cn=3n+λbn(n∈N*),是否存在实数λ,当n∈N*时,Cn+1>Cn恒成立,若存在,求实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由. |
若正项数列{an} 满足=+2,且a25=7,则a1=( ) |
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