已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设b
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已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设b
题型:不详
难度:
来源:
已知等差数列{a
n
}的首项a
1
=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
1
n(
a
n
+3)
(n∈N*),S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
,求S
n
;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的S
n
,是否存在实数t,使得对任意的n均有:8S
n
≤t(a
n
+3)成立?若存在,求出t的范围,若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题意得(a
1
+d)(a
1
+13d)=(a
1
+4d)2,…2 分
整理得2a
1
d=d2.
∵a
1
=1,解得(d=0舍),d=2. …4 分
∴a
n
=2n-1(n∈N*). …6 分
(Ⅱ)b
n
=
1
n(
a
n
+3)
=
1
2n(n+1)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+1
),
∴S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
1
2
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=
1
2
(1-
1
n+1
)=
n
2(n+1)
. …10 分
(Ⅲ)假设存在整数t满足8S
n
≤t(a
n
+3)总成立.
得t≥
2n
(n+1)
2
,而
2n
(n+1)
2
=
2
n+
1
n
+2
≤
2
2+2
=
1
2
,即
2n
(n+1)
2
的最大值为
1
2
,
∴t≥
1
2
适合条件 …(12分)
举一反三
设S
n
为等差数列{a
n
}(n∈N
*
)的前n项和,已知S
3
=-24,S
10
-S
5
=50,求:
(1)a
1
及d的值;
(2)S
n
的最小值.
题型:不详
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|
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各项是正数的等比数列{a
n
}中,a
2
,
1
2
a
3
,a
1
成等差数列,则数列{a
n
}公比q=______.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,若a
n
=25-2n(n∈N
*
),那么使其前n项之和S
n
取得最大值的n=______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}是等差数列,a
2
=3,前四项和S
4
=16.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记
T
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n+1
,计算T
2011
.
题型:不详
难度:
|
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设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
,已知数列{b
n
}的公比为q(q>0),a
1
=b
1
=1,S
5
=45,T
3
=a
3
-b
2
.
(Ⅰ)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求
q
a
1
a
2
+
q
a
2
a
3
+…+
q
a
n
a
n+1
.
题型:不详
难度:
|
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