设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn为数列{an}的前n项和.(Ⅰ)求证:an2=2Sn-a

设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn为数列{an}的前n项和.(Ⅰ)求证:an2=2Sn-a

题型:淄博二模难度:来源:
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn为数列{an}的前n项和.
(Ⅰ)求证:an2=2Sn-an
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整数,n∈N*)试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.
答案
(Ⅰ)由已知得,当n=1时,a13=S12=a12
又∵an>0,∴a1=1
当n≥2时,a13+a23++an3=Sn2
a13+a23++an-13=Sn-12
由①-②得,an3=Sn2-Sn-12=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=an(Sn+Sn-1
∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an(n≥2)
显然当n=1时,a1=1适合上式.
故an2=2Sn-an(n∈N*
(Ⅱ)由(I)得,an2=2Sn-an
an-12=2Sn-1-an-1(n≥2)④
由③-④得,an2-an-12=2Sn-2Sn-1-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1>0∴an-an-1=1(n≥2)
故数列an是首项为1,公差为1的等差数列.
∴an=n(n∈N*
(III)∵an=n(n∈N*),∴bn=3n+(-1)n-1λ•2n
∴bn+1-bn=3n+1-3n+(-1)nλ•2n+1-(-1)n-1λ•2n=2×3n-3λ•(-1)n-1•2n
要使bn-1>bn恒成立,只须(-1)n-1 λ<(
3
2
)
n-1
(1)当n为奇数时,即λ<(
3
2
)
n-1
恒成立,
(
3
2
)
n-1
的最小值为1,∴λ<1
(2)当为偶数时,即λ>(
3
2
)
n-1
恒成立,
又-(
3
2
)
n-1
的最大值为-
3
2

∴λ>-
3
2
,∴由(1)(2)得-
3
2
<λ<1,
又λ=0且为整数,∴λ=-1对所有n∈N+,都有bn+1>bn成立.
举一反三
在等差数列{an}中,a7=9,a13=-2,则a25=(  )
A.-22B.-24C.60D.64
题型:不详难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则201是该数列的第(  )项.
A.60B.61C.62D.63
题型:不详难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,如果a1=100,a10=10,那么a11=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列中,a1=5,a8=19,an=pn+q(p,q为常数)(n∈N*),则a5=______.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列8,5,2,…的第30项是______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.