试题分析: (1)利用十字相乘法分解,得到关于的递推式,证得数学为等比数列且可以知道公比,则把公比带入式子就可以求出首项,进而得到的通项公式. (2)由第一问可得的通项公式带入可的通项公式,结合成等比数列,满足等比中项,得到关于m,n的等式,借助m,n都为正整数,利用等式两边的范围求出n,m的范围等到m,n的值. (3)由(1)得,带入得到,由于要得到钱n项和,故考虑把进行分离得到 ,进而利用分组求和和裂项求和求的,观察的单调性,可得到与都关于n单调递减,进而得到关于n是单调递增的,则有,再根据的非负性,即可得到,进而证明原式. 试题解析: (1) 因为,即 1分 又,所以有,即所以数列是公比为的等比数列. 2分 由得,解得。 3分 从而,数列的通项公式为。 4分 (2)=,若成等比数列,则, 5分 即.由,可得, 6分 所以,解得:。 7分 又,且,所以,此时. 故当且仅当,.使得成等比数列。 8分 (3) 10分 ∴ 12分 易知递减,∴0< 13分 ∴,即 14分 |