设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N+).(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{nan}的前n项和为Tn
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设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N+).(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{nan}的前n项和为Tn
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=2a
n
-1(n∈N
+
).
(Ⅰ)求证数列{a
n
}是等比数列,并求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{na
n
}的前n项和为T
n
,求T
n
的表达式;
(Ⅲ)对任意n∈N
+
,试比较
T
n
2
与 S
n
的大小.
答案
(Ⅰ)由S
n
=2a
n
-1得S
n+1
=2a
n+1
-1,二式相减得:a
n+1
=2a
n+1
-2a
n
,
∴
a
n+1
a
n
=2
,∴数列{a
n
}是公比为2的等比数列,(3分)
又∵S
1
=2a
1
-1,∴a
1
=1,∴a
n
=2
n-1
.(5分)
(Ⅱ)∵na
n
=n2
n-1
,
∴T
n
=1•2
0
+2•2
1
+3•2
2
+…+(n-1)•2
n-2
+n•2
n-1
①
2T
n
=1•2+2•2
2
+…+(n-2)•2
n-2
+(n-1)•2
n-1
+n•2
n
,②(7分)
①-②得-T
n
=1+2+4+…+2
n-2
+2
n-1
-n•2
n
=
1-
2
n
1-2
-n
2
n
=
2
n
-1-n
2
n
,
∴T
n
=n2
n
-2
n
+1=(n-1)2
n
+1.(9分)
(Ⅲ)∵
S
n
=
1-
2
n
1-2
=
2
n
-1
,
∴
T
n
2
-
S
n
=
1
2
(n
2
n
-
2
n
+1)-(
2
n
-1)=(n-3)
2
n-1
+
3
2
,(11分)
∴当n=1时,
T
1
2
-S
1
=-
1
2
<0,当n=2时,
T
2
2
-S
2
=-
1
2
<0,;
当n≥3时,
T
n
2
-S
n
>0.(13分)
综上,当n=1或n=2时,
T
n
2
<
S
n
;当n≥3时,
T
n
2
>
S
n
.(14分)
举一反三
已知数列{a
n
}的各项均为正数,S
n
为其前n项和,且对任意的n∈N
+
,有
S
n
=
3
2
a
n
-
3
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=
1
log
3
a
n
•
log
3
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=2,则数列{log
2
a
n
}的前n项和为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=5
n
+t(t是实数),下列结论正确的是( )
A.t为任意实数,{a
n
}均是等比数列
B.当且仅当t=-1时,{a
n
}是等比数列
C.当且仅当t=0时,{a
n
}是等比数列
D.当且仅当t=-5时,{a
n
}是等比数列
题型:宝山区一模
难度:
|
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若三个数
a+log
2
9
,a+log
2
3,a+log
2
81成等比数列则其公比的值是______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和是S
n
,且2S
n
+a
n
=1(n∈N
*
).
(Ⅰ) 求证:数列{a
n
}是等比数列;
(Ⅱ) 记b
n
=10+log
9
a
n
,求{b
n
}的前n项和T
n
的最大值及相应的n值.
题型:不详
难度:
|
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