已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1(n∈N*).(Ⅰ) 求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ) 记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和

已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1(n∈N*).(Ⅰ) 求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ) 记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和

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已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1(n∈N*).
(Ⅰ) 求证:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ) 记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和Tn的最大值及相应的n值.
答案
(Ⅰ) 2sn+an=1,2sn-1+an-1=1(n≥2,n∈N*)相减得3an=an-1(3分)
又2s1+a1=1得a1=
1
3
∴an≠0(5分)
an
an-1
=
1
3
(n≥2,n∈N*)

∴数列{an}是等比数列 (7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{an}是等比数列,an=(
1
3
)n
bn=10+lo
g 9
an=10-
1
2
n
,(10分)
当Tn最大值时  





bn≥0
bn+1≤0
⇒19≤n≤20

∵n∈N*,∴n=19或n=20(12分)
(Tn)max=T19=T20=
20×
19
2
2
=95
(14分)
举一反三
已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式an=______.
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正项等比数列{an}的首项a1=2-5,其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽一项后的几何平均数仍是25,则抽出的一项的项数是(  )
A.6B.7C.9D.11
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已知各项均为正数的等比数列{an}前2项和为6,前6项的和为126,则前4项的和等于(  )
A.64B.36C.30D.24
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已知数列{an}满足a1=
1
2
,an=
an-1
1+an-1
(n∈N*,n≥2).
(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=
1
an
且cn=lgbn,判断数列{cn}是否为等比数列?并说明理由.
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已知数列{an}的前项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N,令bn=an+1-2an,且a1=1.
(1)求证数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{nbn}的前n项和Tn
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