设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S3=9,S6=36.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数m、k,使am,am+5,ak成等比数列?若存
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设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S3=9,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数m、k,使am,am+5,ak成等比数列?若存在,求出m和k的值,若不存在,说明理由; (3)设数列{bn}的通项公式为bn=3n﹣2.集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*}.将集合A∪B中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,求{cn}的通项公式. |
答案
解:(1)设等差数列{an}的公差是d, 由S3=9和S6=36,得, 解得a1=1,d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1, 故数列{an}的通项公式an=2n﹣1. (2)存在正整数m、k,使am,am+5,ak成等比数列. ∵存在正整数m、k,使am,am+5,ak成等比数列, ∴(2m﹣1)(2k﹣1)=(2m+9)2, ∴==2m﹣1+20+, 即,m,k是正整数, ∴存在正整数m,k,使am,am+5,ak成等比数列, m,k的值分别是m=1,k=61或m=1,k=23,或m=13,k=25. (3)∵a3k﹣2=2(3k﹣2)﹣1=6k﹣5,a3k﹣1=2(3k﹣1)﹣1=6k﹣3,a3k=23k﹣1=6k﹣1, b2k﹣1=3(2k﹣1)﹣2=6k﹣5=a3k﹣2,b2k=32k﹣2=6k﹣2A, ∴a3k﹣2=b2k﹣1<a3k﹣1<b2k<a3k,k=1,2,3,…, 即当n=4k﹣3,k∈N*时,cn=6k﹣5; 当n=4k﹣2,k∈N*时,cn=6k﹣3; 当n=4k﹣1,k∈N*时,cn=6k﹣2; 当n=4k,k∈N*时,cn=6k﹣1. ∴{cn}的通项公式是cn=, 即. |
举一反三
已知项数为9的等比数列{an}中a5=1,则其所有奇数项和的取值范围是( ) |
在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5= |
[ ] |
A.33 B.72 C.84 D.189 |
已知等比数列{an}中,各项都是正数,且2a2,成等差数列,则= |
[ ] |
A. B.2 C.36 D.12 |
已知{an}的首项为a1,公比q为正数(q≠1)的等比数列,其前n项和为Sn,且5S2=4S4. (1)求q的值; (2)设bn=q+Sn,请判断数列{bn}能否为等比数列,若能,请求出a1的值,否则请说明理由. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=且Sn=Sn﹣1+an﹣1+,数列{bn}满足b1=﹣ 且3bn﹣bn﹣1=n(n≥2且n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (3)求{bn}前n项和的最小值. |
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