已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数)(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数) (Ⅰ)求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实数k的最大值. |
答案
(Ⅰ)∵3an+1+2Sn,① ∴当n≥2时,3an+2Sn-1=3.② 由 ①-②,得3an+1-3an+2an=0. ∴=,n≥2. 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 a2=. ∴数列{an}是首项为1,公比为q=的等比数列. ∴an=a1qn-1=()n-1,(n为正整数).…(7分) (Ⅱ)∵数列{an}是首项为1,公比为q=的等比数列, ∴Sn==(1-), 由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤(1-), ∵数列{1-}单调递增,当n=1时,数列中的最小项为,即(1-)≥1 ∴必有k≤1,即实数k的最大值为1.…(14分) |
举一反三
正项等比数列{an}中,若a5•a6=81,则log3a1+log3a10=______. |
已知:数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),而Tn为数列{}的前n项和,求Tn. |
设等比数列{an}满足:Sn=2n+a(n∈N+). (I)求数列{an}的通项公式,并求最小的自然数n,使an>2010; (II)数列{bn}的通项公式为bn=-,求数列{bn}的前n项和Tn. |
已知等比数列{an},a2=8,a5=512. (I)求{an}的通项公式; (II)令bn=log2an,求数列bn的前n项和Sn. |
数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是An.求关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立; (3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由. |
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