在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;(Ⅲ)证明不等式Sn
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在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*, (Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn; (Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. |
答案
(Ⅰ)证明:由题设, 得,n∈N*, 又, 所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知, 于是数列{an}的通项公式为, 所以数列{an}的前n项和; (Ⅲ)证明:对任意的n∈N*,
, 所以不等式,对任意n∈N*皆成立. |
举一反三
在等比数列{an}(n∈N*)中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为 |
[ ] |
A. B. C. D. |
已知数列{an}和{bn}满足:a1=1,a2=2,an>0,(n∈N*),且{bn}是以q为公比的等比数列。 (1)证明:an+2=anq2; (2)若cn=a2n-1+2a2n,证明数列{cn}是等比数列; (Ⅲ)求和:。 |
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数。 (1)用xn表示xn+1; (2)若x1=4,记,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; (3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3。 |
若不等式(n∈N*)成立,则n的最小值 |
[ ] |
A.7 B.8 C.9 D.10 |
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