已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an,(1)若bn=n+1,求a4; (2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b
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已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an,(1)若bn=n+1,求a4; (2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b
题型:北京期末题
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的首项为1,对任意的n∈N*,定义b
n
=a
n+1
-a
n
,
(1)若b
n
=n+1,求a
4
;
(2)若b
n+1
b
n-1
=b
n
(n≥2),且b
1
=a,b
2
=b(ab≠0),
①当a=1,b=2时,求数列{b
n
}的前3n项和;
②当a=1时,求证:数列{a
n
}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。
答案
解:(1)
6,
;
(2)①因为
,
所以,对任意的n∈N*有
,
即数列{b
n
}各项的值重复出现,周期为6.
数列{b
n
}的前6项分别为
,且这六个数的和为7.
设数列{b
n
}的前n项和为S
n
,
则当n=2k(k∈N*)时,
;
当n=2k+1(k∈N*)时,
,
所以,当n为偶数时,
;当n为奇数时,
;
②由①知:对任意的n∈N*有
,
又数列{b
n
}的前6项分别为
,且这六个数的和为
;
设
(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),
所以
,
所以,数列
均为以
为公差的等差数列,
因为b>0时,
;b<0 时,
,
所以
是公差不为零的等差数列,其中任何一项的值最多在该数列中出现一次,
所以数列{a
n
}中任意一项的值最多在此数列中出现6次,
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.
举一反三
数列{a
n
}的前几项为1,3,5,7,9,11,13,在数列{b
n
}中,b
1
=a
1
,b
2
=a
2
,b
3
=a
4
,b
4
=a
8
,…,则b
20
=( )。
题型:河北省期末题
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=
且
(n≥2),则a
15
等于
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:0108 模拟题
难度:
|
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已知数列{a
n
}的首项为1,对任意的n∈N*,定义b
n
=a
n+1
-a
n
,
(1)若b
n
=n+1,求a
4
;
(2)若b
n+1
b
n-1
=b
n
(n≥2),且b
1
=a,b
2
=b(ab≠0),
①当a=1,b=2时,求数列{b
n
}的前3n项和;
②当a=1时,求证:数列{a
n
}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.
题型:北京模拟题
难度:
|
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有下列数组排成一排:
,
,…
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列:
,…
则此数列中的第2 011项是
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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已知数列{a
n
},其前n项和S
n
满足S
n+1
=2λS
n
+1(λ是大于0的常数),且a
1
=1,a
3
=4。
(1)求λ的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式a
n
。
题型:0108 模拟题
难度:
|
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