试题分析: (1)当带入式子结合即可得到的值,当时,利用与的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式. (2)把(1)中得到的的通项公式带入可得,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求的前n项和. (3)把(1)得到的带入,观察的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项,在进行求和就可以得到的前n项和为,利用非负即可证明原不等式. 试题解析: (1)由题意,当时,有, (1分) 两式相减得 即. (2分) 由,得. 所以对一切正整数n,有, (3分) 故,即. (4分) (2)由(1),得, 所以 ① (5分) ①两边同乘以,得 ② (6分) ①-②,得, (7分) 所以, (8分) 故. (9分) (3)由(1),得 (12分)
(13分) . (14分) |