知数列的首项前项和为，且（1）证明：数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数,并比较与的大小.

题型：不详难度：来源：

知数列的首项前项和为，且
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数,并比较与的大小.

答案

(1)详见解析;（2）; 当时，; 当时，;当时，.

解析

试题分析：（1）先利用与的递推关系得到与的递推关系式，再通过构造新数列，并结合等比数列的定义来证明是等比数列；（2）先求导得到的表达式，然后分组求和，一部分是用错位相减法，另一部分是用等差数列求和公式，最后通过作差比较与的大小情况.
试题解析：（1）由已知，可得两式相减得
即从而    4分
当时所以又所以从而
  5分
故总有，又
从而即数列是等比数列；  6分
（2）由（1）知,因为所以
从而=
=
令，
错位相减得，
      10分
由上=
=12①
当时，①式=0所以；
当时，①式=12所以
当时，又由函数可
所以即①从而  14分项和的求法，3、函数的求导.