已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512,且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Tn=1a1+2a2+3a
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已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512,且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Tn=1a1+2a2+3a
题型:不详
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来源:
已知递增的等比数列{a
n
}的前三项之积为512,且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若
T
n
=
1
a
1
+
2
a
2
+
3
a
3
+…+
n
a
n
,求T
n
.
答案
(1)设递增的等比数列{a
n
}的前三项分别为a
1
,a
2
,a
3
,
则a
1
a
2
a
3
=512,∴a
2
=8.
又这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列,
则2(a
2
-3)=a
1
-1+a
3
-9,即a
1
+a
3
=20.
又∵
a
1
a
3
=
a
2
2
=64
,且a
1
<a
3
,∴a
1
=4,a
3
=16,
∴等比数列{a
n
}的公比q=2.
∴
a
n
=
a
1
q
n-1
=4•
2
n-1
=
2
n+1
;
(2)证明:令
b
n
=
n
a
n
=
n
2
n+1
=n(
1
2
)
n+1
,
则T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
1•(
1
2
)
2
+2•(
1
2
)
3
+…+(n-1)•(
1
2
)
n
+n•(
1
2
)
n+1
,①
1
2
T
n
=(
1
2
)
3
+2•(
1
2
)
4
+…+(n-1)•(
1
2
)
n+1
+n•(
1
2
)
n+2
,②
①-②得:
1
2
T
n
=(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n+1
-n•(
1
2
)
n+2
,
即
T
n
=
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
-n•(
1
2
)
n+1
,
∴
T
n
=
1
2
(1-(
1
2
)
n
)
1-
1
2
-n•(
1
2
)
n+1
=1-(1+
n
2
)•(
1
2
)
n
.
举一反三
在等差数列{a
n
}中,a
1
=2,a
1
+a
2
+a
3
=12.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令
b
n
=
a
n
•
3
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
S
n
=
n
2
+3n
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{c
n
}满足c
n
=
a
n
,n为奇数
2
n
,n为偶数
,求数列{c
n
}的前n项和为T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足:a
n
=log
n+1
(n+2)(n∈N
*
),定义使a
1
•a
2
•a
3
…a
k
为整数的数k(k∈N
*
)叫做企盼数,则区间[1,2013]内所有的企盼数的和为( )
A.1001
B.2026
C.2030
D.2048
题型:不详
难度:
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在数列{a
n
}中,a
1
=16,数列{b
n
}是公差为-1的等差数列,且b
n
=log
2
a
n
(Ⅰ)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)在数列{b
n
}中,若存在正整数p,q使b
p
=q,b
q
=p(p>q),求p,q得值;
(Ⅲ)若记c
n
=a
n
•b
n
,求数列{c
n
}的前n项的和S
n
.
题型:不详
难度:
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等比数列
的首项
,公比
是最小的正整数,则数列
的前
项的和为
A
B
C
D
题型:不详
难度:
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