已知数列{an}是首项为1的等差数列,其公差d>0,且a3,a7+2,3a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求证:a1+a22+a322+…+
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已知数列{an}是首项为1的等差数列,其公差d>0,且a3,a7+2,3a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求证:a1+a22+a322+…+
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是首项为1的等差数列,其公差d>0,且a
3
,a
7
+2,3a
9
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求证:
a
1
+
a
2
2
+
a
3
2
2
+…+
a
n
2
n-1
<4
(n∈N*).
答案
(Ⅰ)因为a
n
=1+(n-1)d,则a
3
=1+2d,a
7
=1+6d,a
9
=1+8d.(3分)
由已知,
(
a
7
+2)
2
=a
3
•3a
9
,则(3+6d)
2
=3(1+2d)(1+8d),即2d
2
-d-1=0.(5分)
所以(2d+1)(d-1)=0.
因为d>0,则d=1,
故a
n
=n.(6分)
(Ⅱ)设S
n
=a
1
+
a
2
2
+
a
3
2
2
+…+
a
n
2
n-1
,则S
n
=1+
2
2
+
3
2
2
+…+
n
2
n-1
,
则
1
2
S
n
=
1
2
+
2
2
2
+…+
n
2
n
.(8分)
两式相减得,
1
2
S
n
=1+
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+…+
1
2
n-1
-
n
2
n
=
1-
1
2
n
1-
1
2
-
n
2
n
=2-
n+2
2
n
.
所以S
n
=4-
n+2
2
n-1
.(12分)
因为
n+2
2
n-1
>0,则4-
n+2
2
n-1
<4,故a
1
+
a
2
2
+
a
3
2
2
+…+
a
n
2
n-1
<4.(13分)
举一反三
已知等差数列5,4
2
7
,3
4
7
…,记第n项到第n+6项的和为T
n
,则|T
n
|取得最小值时,n的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项的和S
n
=2a
n
-1(n∈N
*
),数列{b
n
}满足:b
1
=3,S
n+1
=a
n
+b
n
(n∈N
*
).
(1)求证:数列{a
n
}为等比数列;
(2)求数列{b
n
}的前n项的和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=-2n+11,前n项和S
n
.
(1)求数列{a
n
}的前n项和S
n
;
(2)|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
14
|.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
1
=1,S
n+1
=4a
n
+2
(Ⅰ)设b
n
=a
n+1
-2a
n
,证明数列{b
n
}是等比数列
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式.
(Ⅲ)设c
n
=2nb
n
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为s
n
满足s
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
,且
a
n
>0.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)令b
n
=20-a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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