设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2(Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.(Ⅲ
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2 (Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列 (Ⅱ)求数列{an}的通项公式. (Ⅲ)设cn=2nbn,求数列{cn}的前n项和Sn. |
答案
(I)由a1=1,Sn+1=4an+2, 有a1+a2=4a1+2, ∴a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3…(1分) 由Sn+1=4an+2,…① 则当n≥2时,有Sn=4an-1+2…② ②-①得an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1)…(3分) 又bn=an+1-2an, ∴bn=2bn-1, ∴数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.…(4分) (II)由(I)可得bn=an+1-2an=3•2n-1, ∴-= ∴数列{}是首项为,公差为的等差数列,…(6分) ∴=+(n-1)×=n-, ∴an=(3n-1)•2n-2,…(8分) (III)由(II)知,cn=2nbn=3n•2n,则 Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+n•2n),…(10分)① 2Sn=3(1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1),② ①-②,得 -Sn=3(2+22+23+…+2n)-3n•2n+1,…(12分) =3(1-n)2n+1-6, 所以Sn=3(n-1)2n+1+6.…(14分) |
举一反三
已知数列{an}的前n项和为sn满足sn=(an+1)2,且an>0. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn=20-an,求数列{bn}的前n项和Tn的最大值. |
已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512,且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Tn=+++…+,求Tn. |
在等差数列{an}中,a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=an•3n,求数列{bn}的前n项和Sn. |
数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{cn}满足cn=,求数列{cn}的前n项和为Tn. |
已知数列{an}满足:an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使a1•a2•a3…ak为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数,则区间[1,2013]内所有的企盼数的和为( ) |
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