已知函数f(n)=n2sinnπ2，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014=______．

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已知函数f(n)=n2sin

nπ

，且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=______．

答案

∵f（n）=n²sin

nπ

，
∴a_n=f（n）+f（n+1）=n²sin

nπ

+（n+1）²sin

(n+1)π

=n²sin

nπ

+（n+1）²cos

nπ

，
∴a₁=1，
a₂=a₃=-3²，
a₄=a₅=5²，
a₆=a₇=-7²，
…
a₂₀₁₂=a₂₀₁₃=2013²，
a₂₀₁₄=-2015²．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄
=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）
=[（1-3²）+（5²-7²）+…+（2009²-2011²）+2013²]+[（-3²+5²）+（-7²+9²）+…+（-2011²+2013²）-2015²]
=-2（4+12+20+…+4020）+2013²+2（8+16+…+4024）-2015²
=-2×

(4+4020)×503

+2×

(8+4024)×503

-2015²+2013²
=503×8-2×4028
=-4032．

举一反三

数列{a_n}是递增的等差数列，且a₁+a₆=-6，a₃•a₄=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

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已知正项等比数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=3，前n项和为S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}的前n项和T_n．

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已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，S₃=6，且满足a₃-a₁，2a₂，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an•an+2

，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

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设项数均为k（k≥2，k∈N^*）的数列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n项的和分别为S_n、T_n、U_n．已知：an-bn=2n(1≤n≤k，n∈N*)，且集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若k=4，求S₄和T₄的值，并写出两对符合题意的数列{a_n}、{b_n}；
（3）对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a_n}，{b_n}）有偶数对．

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如图给出了3层的三角形，图中所有点的个数S₃=10．按其规律再画下去，可以得到n层的三角形，S_n=______．

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