已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1＞1，a4＞3，S3≤9，设bn=2nan，则b1+b2+…+bn的结果为______．

题型：不详难度：来源：

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为______．

答案

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以a₁+3d＞3，3a₂≤9⇒d＞

2

3

，a₁+d≤3⇒a₁≤3-d＜3-

2

3

=

7

3

=2

1

3

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2 则

1

3

＜d≤1⇒d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1）
令S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
故答案为：n•2ⁿ⁺¹