给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存
题型:石景山区一模难度:来源:
给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P. (Ⅰ)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-1,1,3是否具有性质P,简述理由. (Ⅱ)若数列{xn}具有性质P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj=0; ②若x1=-1,x2>0且xn>1,则x2=1. (Ⅲ)若数列{xn}只有2013项且具有性质P,x1=-1,x3=2,求{xn}的所有项和S2013. |
答案
(Ⅰ)数列{xn}具有性质P,数列数列{yn}不具有性质P. 对于数列{xn},若A1(-2,2),则A2(2,2);若A1(-2,-2)则A2(2,-2);均满足OA1⊥OA2,所以具有性质P. 对于数列{yn},当A1(-2,3)若存在A2(x,y)满足OA1⊥OA2,即-2x+3y=0,即=,数列{yn}中不存在这样的数x,y,因此不具有性质P.…(3分) (Ⅱ)(1)取A1(xi,xi),又数列{xn}具有性质P,所以存在点A2(xi,xj)使得OA1⊥OA2,即xixi+xixj=0,又xi≠0,所以xi+xj=0.…(5分) (2)由(1)知,数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj=0;又数列{xn}是单调递增数列且x2>0,所以1为数列{xn}中的一项. 假设x2≠1,则存在k(2<k<n,k∈N*)有xk=1,所以0<x2<1. 此时取A1(x2,xn),数列{xn}具有性质P,所以存在点A2(xi,xs)使得OA1⊥OA2,所以x2xi+xnxs=0;只有x1,所以当x1=-1时x2=xnxs>xs≥x2,矛盾; 当xs=-1时x2=≥1,矛盾.所以x2=1.…(9分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,x2=1.若数列{xn}只有2013项且具有性质P,可得x4=4,x5=8, 猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列.(用数学归纳法证明). 所以S2013=-1+1+2+4+…+22011==22012-2 …(13分) |
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=2x-1-2的图象上. (I)求数列{an}的通项公式; (II)设数列{bn}满足:b1=0,bn+1+bn=an,求数列{bn}的前n项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的n∈N*不等式bn<λbn+1恒成立,求实数h(-1)=-的取值范围. |
已知数列{an}中,an=-4n+5,等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,则|b1|+|b2|+…+|bn|=( ) |
已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=anan+1(n∈N*),a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:+++…+<. |
设Sn为数列{an}前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足bn=,b1=2a1, (1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)求数列{}的前n项和Tn. |
(1)数列an的前n项和Sn=n2+1.则数列an的通项公式为______; (2)设数列an的前n项和为Sn=2n2,则数列an的通项公式为______. |
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