已知数列{an}(n∈N*)，首项a1=56，若二次方程anx2-an+1x-1=0的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{an}的前n项和Sn=____

题型：浦东新区二模难度：来源：

已知数列{an}(n∈N*)，首项a1=

5

6

，若二次方程anx2-an+1x-1=0的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=______．

答案

依题意得：α+β=

an+1

an

，α•β=-

1

an

，
∵3α+αβ+3β=1，
∴3•

an+1

an

-

1

an

=1．
∴3a_n+1=a_n+1，
∴3（a_n+1-

1

2

）=a_n-

1

2

，
∴

an+1- 1 2

an- 1 2

=

1

3

，又a1=

5

6

，
∴a₁-

1

2

=

1

3

，
∴{a_n-

1

2

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴a_n-

1

2

=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
∴a_n=(

1

3

)n+

1

2

．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]+

1

2

n
=

1

2

-

1

2

•(

1

3

)n+

n

2

．
故答案为：

1

2

+

n

2

-

1

2

•(

1

3

)n．