已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+3，(n∈N*)（1）求通项an；（2）求和1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n2+2n+3，(n∈N*)
（1）求通项a_n；
（2）求和

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

．

答案

（1）∵a₁=S₁=6，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时，a₁=3≠6，∴an=

6(n=1) 2n+1(n≥2).

…（6分）
（2）当n=1时，原式=

1

30

当n≥2时，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

•(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴原式=

1

30

+

1

2

•(

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

30

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

2

15

-

1

2(2n+3)

…（13分）