设同时满足条件:①bn+bn+22≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn} 叫“特界”数列.(Ⅰ)若数列{an} 为
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设同时满足条件:①bn+bn+22≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn} 叫“特界”数列.(Ⅰ)若数列{an} 为
题型:不详
难度:
来源:
设同时满足条件:①
b
n
+
b
n+2
2
≤
b
n+1
(n∈N
*
);②b
n
≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{b
n
} 叫“特界”数列.
(Ⅰ)若数列{a
n
} 为等差数列,S
n
是其前n项和,a
3
=4,S
3
=18,求S
n
;
(Ⅱ)判断(Ⅰ)中的数列{S
n
}是否为“特界”数列,并说明理由.
答案
(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为,
a
1
+2d=4,3a
1
+3d=18,…(2分)
解得a
1
=8,d=-2…(4分)
S
n
=n
a
1
+
n(n-1)
2
d=-
n
2
+9n
…(6分)
(Ⅱ)由
S
n
+
S
N+2
2
-
S
n+1
=
(
S
n+2
-
S
n+1
)-(
S
n+1
-
S
n
)
2
=
a
n+1
-
a
n+1
2
=
d
2
=-1<0
得
S
n
+
S
n+2
2
<S
n+1
,
故数列数列{S
n
}适合条件①…(9分)
S
n
=-
n
2
+9n=-
(n-
9
2
)
2
+
81
4
,
则当n=4或n=5时,S
n
有最大值20
即S
n
≤20,故数列{S
n
}适合条件②.
综上,故数列{S
n
}是“特界”数列.…(12分)
举一反三
设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=2,a
n
=
1
3
(a
n-1
+2a
n-2
)(n=3,4,…).数列{b
n
}满足b
1
=1,b
n
(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b
m
+b
m+1
+…+b
m+k
≤1.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)记c
n
=na
n
b
n
(n=1,2,…),求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:广东
难度:
|
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已知数列{a
n
},其前n项和S
n
满足S
n+1
=2S
n
+1,且a
1
=1.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅱ)求数列{na
n
}的前n项和T
n
.
题型:开封一模
难度:
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已知数列{a
n
}的首项a
1
=1,a
n+1
=3S
n
(n≥1),则数列{a
n
}的通项公式为 ______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}中,a
3
=1,a
1
+a
2
+…+a
n
=a
n+1
(n∈N
*
).
(Ⅰ)求a
1
,a
2
,a
4
,a
5
;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的前n项和S
n
;
(Ⅲ)设b
n
=log
2
S
n
,存在数列{c
n
}使得c
n
•b
n+3
•b
n+4
=n(n+1)(n+2)S
n
,试求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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设
f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)
,是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请写出g(n)通项公式(不必说明理由);若不存在,说明理由.______.
题型:奉贤区二模
难度:
|
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