已知一个数列{an}的各项是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有f(k)个2,记数列的前n项的和为Sn.(1)若f(k)=2k﹣1,求S100;(
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已知一个数列{an}的各项是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有f(k)个2,记数列的前n项的和为Sn. (1)若f(k)=2k﹣1,求S100; (2)若f(k)=2k﹣1,求S2011. |
答案
解:(1)若f(k)=2k﹣1,则数列为1,2,1,2,2,1,2,2,2,1… 记第k个1与其后面的k个2组成第k组,其组内元素个数记为bk,则 又当k=6时,b1+b2+…+b6=2+3+5+9+17+33=69<100 但当k=6时,b1+b2+…+b7=2+3+5+9+17+33+65=134>100 所以前100项中由前6组以及第7组的部分元素构成, 故有7个1和93个2,从而S100=7+93×2=193 (2)若f(k)=2k﹣1,则数列为1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1… 记第k个1与其后面的k个2组成第k组,其组内元素个数记为bk,则bk=2k 令b1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n(n+1)<2011, 而44×45=1980<2011,45×46=2070>2011 故n=44,即前2011项中有45个以及1966个2,所以S2011=45+1966×2=3977 |
举一反三
设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知与的等比中项为,已知与的等差中项为1. (1)求等差数列{an}的通项; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. |
设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若cn=anbn(n=1,2,3…),Tn为数列{cn}的前n项和.求Tn. |
设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若cn=anbn(n=1,2,3…),Tn为数列{cn}的前n项和.求Tn. |
设数列{an}的前n项和为Sn,点P(Sn,an)在直线(3﹣m)x+2my﹣m﹣3=0上,(m∈N*,m为常数,m≠3); (1)求an; (2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1),(n∈N*,n≥2),求证:为等差数列,并求bn; (3)设数列{cn}满足cn=bnb n+2,Tn为数列{cn}的前n项和,且存在实数T满足Tn≥T,(n∈N*),求T的最大值. |
已知数列{an}、{bn}满足:,an+bn=1,. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若,求数列{cn}的前n项和Sn. |
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