已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)(x、y∈R)且,(1)当n∈N+时,求f(n)的表达式;(2)设,若Sn=a1+a2+a3+…+an,求证
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已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)(x、y∈R)且,(1)当n∈N+时,求f(n)的表达式;(2)设,若Sn=a1+a2+a3+…+an,求证
题型:广东省月考题
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已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)(x、y∈R)且
,
(1)当n∈N
+
时,求f(n)的表达式;
(2)设
,若S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,求证S
n
<2
(3)设
,T
n
为{b
n
}的前n项和,求
.
答案
解:(1)∵f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)
令x=n,y=1则f(n+1)=f(n)·f(1)(n∈N
+
)
由
∴
(n∈N
+
)
∴{f(n)}是以
为首项,公比为
的等比数列
则
(2)由
(n∈N
+
)
∴
,
两式相减:
=
∴
∴n∈N
+
时
∴
(3)由于
∴
则
=
=
举一反三
对任意x∈R,函数f(x)满足
,设a
n
=[f(n)]
2
﹣f(n),数列{a
n
}的前15项的和为
,则f(15)=( )
题型:江苏月考题
难度:
|
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已知数列{a
n
}、{b
n
}满足:
,a
n
+b
n
=1,
.
(Ⅰ)求数列{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:江西省月考题
难度:
|
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已知数列{f(n)}的前n项和为S
n
,且S
n
=n
2
+2n.
(Ⅰ)求数列{f(n)}通项公式;
(Ⅱ)若a
1
=f(1),a
n
+1=f(a
n
)(n∈N),求数列{a
n
}的前n项和T
n
.
题型:江西省月考题
难度:
|
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已知数列{a
n
}中a
1
=2,
,数列{b
n
}中
,其中 n∈N*.
(Ⅰ)求证:数列{b
n
}是等差数列;
(Ⅱ)设S
n
是数列{
}的前n项和,求
;
(Ⅲ)设T
n
是数列
的前n项和,求证:
.
题型:陕西省月考题
难度:
|
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已知数列
,设
,数列{c
n
}满足c
n
=a
n
b
n
(1)求证:{b
n
}是等差数列;
(2)求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:山东省月考题
难度:
|
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