已知数列{an}是首项为，公比的等比数列，设，数列{cn}满足cn=an·bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若对一

题型：北京期末题难度：来源：

已知数列{a_n}是首项为，公比的等比数列，设，
数列{c_n}满足c_n=a_n·b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）由题意知，a_n=（）ⁿ．
∵，
∴b₁=1∴b_n+1﹣b_n=3a_n+1
=3a_n
=3
=3q
=3
∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，a_n=（）ⁿ．b_n=3n﹣2
∴C_n=（3n﹣2）×（）ⁿ．
∴Sn=1×+4×（）²+…+（3n﹣2）×（）ⁿ，
于是S_n=1×（）2+4×（）3+…（3n﹣2）×（）ⁿ⁺¹，
两式相减得
S_n=+3×[（）²+（）³+…+（）ⁿ）﹣（3n﹣2）×（）ⁿ⁺¹，
=﹣（3n﹣2）×（）ⁿ⁺¹，
∴S_n=﹣（）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1﹣C_n=（3n+1）×（）ⁿ⁺¹﹣（3n﹣2）×（）ⁿ=9（1﹣n）×（）ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，C₂=C₁=
又
∴≥
即m²+4m﹣5≧0
解得m≧1或m≤﹣5．