设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示C

题型：0119 月考题难度：来源：

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列。
（Ⅰ）证明：{r_n}为等比数列；
（Ⅱ）设r₁=1，求数列的前n项和。

答案

（Ⅰ）证明：将直线y=x的倾斜角记为θ，则，
设C_n的圆心为（，0），
则由题意，知，得，
同理，，
从而，
将代入，解得：，
故为公比为3的等比数列。
（Ⅱ）解：由，q=3，得，
从而，，
记，
则有，              ①
，②
①-②，得

，
∴。