(Ⅰ)试比较2,33,55的大小;(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小,根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.

(Ⅰ)试比较2,33,55的大小;(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小,根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.

题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)试比较


2
33

55

的大小;
(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小,根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.
答案
(Ⅰ)由于(


2
)6=8
(
33

)6=9
,则
33



2

(


2
)10=32
(
55

)10=25
,则


2
55


所以
33



2
55


(Ⅱ)猜想:当n=1,2时,有nn+1<(n+1)n ;     当n≥3时,有nn+1>(n+1)n
证明如下:①当n=1时,不等式可化为:1<2,显然成立
当n=2时,不等式可化为:23<32,显然成立
②当n≥3时
an=
nn+1
(n+1)n
(n≥3,n∈N+)
a3=
34
43
=
81
64
>1

an+1
an
=
(n+1)n+2(n+1)n
(n+2)n+1nn+1
=[
(n+1)2
(n+2)n
]n+1=[
(n+2)n+1
(n+2)n
]n+1>1

∴an+1>an,即数列{an}是一个单调递增数列
则an>an-1>…>a3>1
nn+1
(n+1)n
>1
即nn+1>(n+1)n
综上所述,当n=1、2时,有nn+1<(n+1)n
当n≥3时,nn+!>(n+1)n
举一反三
a=
1
2
cos7°-


3
2
sin7°, b=2cos12°cos78°, c=


1-cos50°
2
,则(  )
A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b
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函数a,b为实数,且
1
a
1
b
,则有(  )
A.a>b>0B.a<b<0C.ab(a-b)<0D.ab(a-b)>0
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a∈R,且a2+a<0,那么-a,-a3,a2的大小关系是(  )
A.a2>-a3>-aB.-a>a2>-a3C.-a3>a2>-aD.a2>-a>-a3
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若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是______.
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若a>b>c,则下列不等式成立的是(  )
A.
1
a-c
1
b-c
B.
1
a-c
1
b-c
C.ac>bcD.ac<bc
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