某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90
题型:不详难度:来源:
某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a>b). 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? |
答案
学生距离镜框下缘 cm处时,视角最大,即看画效果最佳 |
解析
建立如图所示的直角坐标系,AO为镜框边,AB为画的宽度,O为下边缘上的一点,在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB取得最大值. 由三角函数的定义知:A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为: kAC=tanxCA=, 于是 tanACB= 由于∠ACB为锐角,且x>0,则tanACB≤, 当且仅当=x,即x=时,等号成立, 此时∠ACB取最大值,对应的点为C(,0), 因此,学生距离镜框下缘 cm处时,视角最大,即看画效果最佳. |
举一反三
甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? |
求使≤a(x>0,y>0)恒成立的a的最小值. |
已知x、y是正变数,a、b是正常数,且=1,x+y的最小值为 |
为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?
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