若a＞b＞c，则使不等式1a-b+1b-c+kc-a＞0恒成立的实数k的取值范围是（　　）A．（-∞，1]B．（-∞，1）C．（-∞，4]D．（-∞，4）

题型：不详难度：来源：

若a＞b＞c，则使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立的实数k的取值范围是（　　）

A．（-∞，1]

B．（-∞，1）

C．（-∞，4]

D．（-∞，4）

答案

∵a＞b＞c，则使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立，
∴

k

a-c

＜

1

a-b

+

1

b-c

即k＜(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

)=[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)，
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，b-c＞0，
∴[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2+2

b-c a-b × a-b b-c

=4，
当且仅当

b-c

a-b

=

a-b

b-c

，即a+c=2b时取等号，
∴k＜4，即实数k的取值范围是（-∞，4）．
故选：D．