已知在△ABC中,∠ACB=90°,(1)若BC=3,AC=4,P是AB上的点,求点P到AC,BC的距离乘积的最大值;(2)若△ABC的面积是4,求内切圆半径的
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已知在△ABC中,∠ACB=90°,(1)若BC=3,AC=4,P是AB上的点,求点P到AC,BC的距离乘积的最大值;(2)若△ABC的面积是4,求内切圆半径的
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难度:
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已知在△ABC中,∠ACB=90°,
(1)若BC=3,AC=4,P是AB上的点,求点P到AC,BC的距离乘积的最大值;
(2)若△ABC的面积是4,求内切圆半径的范围.
答案
(1)设P到AC,BC的距离分别为m,n,则P的坐标为(n,m),
∵BC=3,AC=4,
则A(4,0),B(0,3),
故由直线的截距式方程可得,直线AB的方程为
x
4
+
y
3
=1
,
∵P是AB上的点,则
m
4
+
n
3
=1
,
∴
m
4
+
n
3
=1≥2
mn
12
,
∴mn≤3,
∴点P到AC,BC的距离乘积的最大值3;
(2)设BC=a,CA=b,内切圆的半径为r,
∵△ABC的面积是4,则
1
2
ab
=4,
∴ab=8,
∴△ABC的周长为BC+CA+AB=a+b+
a
2
+
b
2
≥
2
ab
+
2ab
=4
2
+4,
由三角形的“等面积法”可得,
1
2
(a+b+c)r=4,
∴r=
8
a+b+
a
2
+
b
2
≤
8
4+4
2
=2
2
-2,
故内切圆半径的取值范围为(0,2
2
-2].
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16
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n
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2
=3,则a
1
+a
2
+a
3
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B.有最大值12
C.有最大值9
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x,
1
2
,2y
成等差数列,则
1
x
+
1
y
的最小值为( )
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B.16
C.
4+2
2
D.
3+2
2
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