已知：a＞0，b＞0，a+b=1，（1）求证：a+12+b+12≤2； （2）求：1a+1b+1ab的最小值．

题型：不详难度：来源：

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2； 
（2）求：

1

a

+

1

b

+

1

ab

的最小值．

答案

（1）证明：因为1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，所以 

1

2

（a+b）+ab+

1

4

≤1，
所以

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，从而有  2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，所以原不等式成立．
（2）

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

，
∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即ab≤

1

4

当且仅当a=b=

1

2

是等号成立
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

≥8，即当a=b=

1

2

时，

1

a

+

1

b

+

1

ab

的最小值为8．