两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为（　　）A．19

题型：天津模拟难度：来源：

两圆x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则

1

a2

+

1

b2

的最小值为（　　）

A． 1 9

B． 4 9

C．1

D．3

答案

由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有

a2+4b2

=3，∴a²+4b²=9，
∴

a2+ 4b2

9

=1，∴

1

a2

+

1

b2

=

a2+ 4b2

9a2

+

a2+ 4b2

9b2

=

1

9

 +

4

9

+

4b2

9a2

+

a2

9b2

 
≥

5

9

+2

4 81

=1，当且仅当

4b2

9a2

=

a2

9b2

 时，等号成立，
故选  C．