△ABC满足AB•AC=23，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△

题型：不详难度：来源：

△ABC满足

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，

1

2

），则xy的最大值为（　　）

A． 1 8

B． 1 9

C． 1 16

D． 1 18

答案

∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

|•|

AC

|=4，
∵S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1．
由题意得，
x+y=1-

1

2

=

1

2

．
所以xy=

xy

4× 1 4

=

xy

4×(x+y)2

=

1

4( x y + y x +2)

≤

1

16

，
当且仅当x=y=

1

4

时，xy取得最大值

1

16

．
故选C．