已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+1ab≥22，②(a+b)(1a+1b)≥4，③a2+b2ab≥a+b，④2aba+b≥ab，其中一定恒成立的是____

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已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+1ab≥22，②(a+b)(1a+1b)≥4，③a2+b2ab≥a+b，④2aba+b≥ab，其中一定恒成立的是____

题型：不详难度：来源：
已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+
1


ab
≥2


2
，②(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4，③
a2+b2


ab
≥a+b，④
2ab
a+b
≥


ab
，其中一定恒成立的是______（填写序号）．
答案
由于a，b∈R+，则
①、∵a+b≥2


ab
，当且仅当a=b时取等号，∴2


ab
+
1


ab
≥2


2
成立，故①正确；
②、(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥4，当且仅当
b
a
=
a
b
时取等号，故②正确；
③、∵(
a2+b2


ab
)2-(a+b)2=
1
ab
[a4+b4+2a2b2-ab（a+b）2]
=
1
ab
(a4+b4-a3b-ab3)=
1
ab
[a3(a-b) +b3(b-a)]=
1
ab
[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=
1
ab
(a-b)2[(a+
b
2
)2+
3b2
4
) ]≥0，∴
a2+b2


ab
≥a+b，故③正确；
④、∵a+b≥2


ab
，当且仅当a=b时取等号，∴
2ab
a+b
≤
2ab
2


ab
=


ab
，故④不对；
故答案为：①②③．
举一反三
若x∈（0，
π
2
）则2tanx+tan（
π
2
-x）的最小值为______．
题型：湖南难度：| 查看答案
已知x，y∈R+，且2x+y=1，求
1
x
+
1
y
的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
设x＞-1，求函数y=
(x+5)(x+2)
x+1
的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
函数y=3x2+
16
2+x2
，当且仅当x=______函数的最小值______．
题型：不详难度：| 查看答案
设函数f（x）=2x+
1
x
-


2
（x＜0），则f（x）的最大值为______．
题型：不详难度：| 查看答案
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