已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+1ab≥22,②(a+b)(1a+1b)≥4,③a2+b2ab≥a+b,④2aba+b≥ab,其中一定恒成立的是____
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已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+1ab≥22,②(a+b)(1a+1b)≥4,③a2+b2ab≥a+b,④2aba+b≥ab,其中一定恒成立的是____
题型:不详
难度:
来源:
已知a,b∈R
+
,下列不等式:①
a+b+
1
ab
≥2
2
,②
(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4
,③
a
2
+
b
2
ab
≥a+b
,④
2ab
a+b
≥
ab
,其中一定恒成立的是______(填写序号).
答案
由于a,b∈R
+
,则
①、∵a+b≥
2
ab
,当且仅当a=b时取等号,∴
2
ab
+
1
ab
≥2
2
成立,故①正确;
②、
(a+b)(
1
a
+
1
b
)
=2+
b
a
+
a
b
≥4,当且仅当
b
a
=
a
b
时取等号,故②正确;
③、∵
(
a
2
+
b
2
ab
)
2
-
(a+b)
2
=
1
ab
[a
4
+b
4
+2a
2
b
2
-ab(a+b)
2
]
=
1
ab
(
a
4
+
b
4
-
a
3
b-a
b
3
)
=
1
ab
[
a
3
(a-b) +
b
3
(b-a)]
=
1
ab
[
(a-b)
2
(
a
2
+ab+
b
2
) ]
=
1
ab
(a-b)
2
[(
a+
b
2
)
2
+
3
b
2
4
) ]
≥0,∴
a
2
+
b
2
ab
≥a+b
,故③正确;
④、∵a+b≥
2
ab
,当且仅当a=b时取等号,∴
2ab
a+b
≤
2ab
2
ab
=
ab
,故④不对;
故答案为:①②③.
举一反三
若x∈(0,
π
2
)则2tanx+tan(
π
2
-x)的最小值为______.
题型:湖南
难度:
|
查看答案
已知x,y∈R
+
,且2x+y=1,求
1
x
+
1
y
的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设x>-1,求函数
y=
(x+5)(x+2)
x+1
的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
函数
y=3
x
2
+
16
2+
x
2
,当且仅当x=______函数的最小值______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数f(x)=2x+
1
x
-
2
(x<0),则f(x)的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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