已知函数f(x)=sin2x+asinx+a2+b-1a.(Ⅰ)设a>0,b=53,求证:f(π6)≥94(Ⅱ)若b=-2,f(x)的最大值大于6,求实数a的取
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已知函数f(x)=sin2x+asinx+a2+b-1a.(Ⅰ)设a>0,b=53,求证:f(π6)≥94(Ⅱ)若b=-2,f(x)的最大值大于6,求实数a的取
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=si
n
2
x+asinx+
a
2
+b-1
a
.
(Ⅰ)设
a>0,b=
5
3
,求证:
f(
π
6
)≥
9
4
(Ⅱ)若b=-2,f(x)的最大值大于6,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设a≥2,若存在x∈R,使得f(x)≤0,求a
2
+b
2
-8a的最小值.
答案
(Ⅰ)∵a>0,b=
5
3
∴
f(
π
6
)=si
n
2
π
6
+asin
π
6
+
a
2
+
5
3
-1
a
=
3a
2
+
2
3a
+
1
4
≥2
3a
2
*
2
3a
+
1
4
=
9
4
即
f(
π
6
)≥
9
4
(Ⅱ)∵b=-2,∴
f(x)=si
n
2
x+asinx+a-
3
a
,设t=sinx,令g(t)=
t
2
+at+a-
3
a
=
(t+
a
2
)
2
-
a
2
4
+a-
3
a
(-1≤t≤1)
当-
a
2
<0时,h(a)=g(1);当-
a
2
>0时,h(a)=g(-1)
;
h(a)=
1+2a-
3
a
(a>0)
1-
3
a
(a<0)
解得a的取值范围是
(-
3
5
,0)∪(3,+∞)
(Ⅲ)
设t=sinx,令ϕ(t)=
t
2
+at+a+
b-1
a
,
∴
φ(t)的图象的对称轴t=-
a
2
≤-1
,
设t=sinx,令φ(t)=
t
2
+at+a+
b-1
a
=
(t+
a
2
)
2
-
a
2
4
+a+
b-1
a
(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1
举一反三
不等式4x
2
+4x+1≤0的解集为( )
A.φ
B.R
C.
{x|x=
1
2
}
D.
{x|x=-
1
2
}
题型:不详
难度:
|
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解下列不等式
(1)(x-3)(x-7)<0;
(2)4x
2
-20x<25;
(3)-3x
2
+5x-4>0;
(4)x(1-x)>x(2x-3)+1.
(5)
x+2
1-x
<0
;
(6)
x+1
x-2
≤2
.
题型:不详
难度:
|
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不等式ax
2
+bx+2>0的解集是
(-
1
2
,
1
3
)
,则a-b的值等于______.
题型:苏州模拟
难度:
|
查看答案
(1)解不等式:
1
x+1
<1
;
(2)若不等式ax
2
+5x-2>0的解集是
{x|
1
2
<x<2}
,求不等式ax
2
-5x+a
2
-1>0的解集.
题型:不详
难度:
|
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解关于x的不等式:
x
x-1
<1-a.
题型:不详
难度:
|
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