函数f（x）=ax2+3ax+1，若f（x）＞f′（x）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜413B．a≥0C．0＜a＜413D．0≤a＜4

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函数f（x）=ax²+3ax+1，若f（x）＞f′（x）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜ 4 13

B．a≥0

C．0＜a＜ 4 13

D．0≤a＜ 4 13

答案

因为f′（x）=2ax+3a，所以由f（x）＞f′（x）得ax²+3ax+1＞2ax+3a，即有：ax²+ax+1-3a＞0对一切x∈R恒成立，
设g（x）=ax²+ax+1-3a，
①当a=0时，g（x）=1＞0恒成立，
②当a≠0时，若使g（x）=ax²+ax+1-3a＞0恒成立，由g（x）=的对称轴x=-

1

2

，则有：

a＞0 g( - 1 2 ) ＞0

，即

a＞0 1 4 a- 1 2 a+1-3a＞0

，得0＜a＜

4

13

，
综合①②得实数a的取值范围是：0≤a＜

4

13

故应选：D