已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x-4|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求实数m的取值范围.

已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x-4|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求实数m的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x-4|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求实数m的取值范围.
答案
(1)不等式f(x)>2,
即|2x+1|>2可化为:
2x+1<-2,或2x+1>2
解得x<-
3
2
,或x>
1
2

∴原不等式的解集为(-∞,-
3
2
)∪(
1
2
,+∞)
(2)∵f(x)-g(x)=|2x+1|-|x-4|=





-x-5,x<-
1
2
3x-3,-
1
2
≤x≤4
x+5,x>4

∵当x∈(-∞,-
1
2
)时,函数为减函数,当x∈(-
1
2
,+∞)时,函数为增函数,
∴当x=-
1
2
时,函数f(x)-g(x)取最小值-
9
2

若不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,
则-
9
2
≥m+1
即m≤-
11
2

故实数m的取值范围为(-∞,-
11
2
]
举一反三
设函数f(x)=(
1
2
|x-4|-|x+1|-8,求使f(x)≥0的x的取值范围.
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不等式1<|3x+4|<6的解集为(  )
A.[-
10
3
,-
5
3
)∪(-1,
2
3
]
B.(-
10
3
,-
5
3
)∪(-1,
2
3
)
C.[-
10
3
,-
5
3
]∪(-1,
2
3
]
D.[-
10
3
,-
5
3
)∪[-1,
2
3
]
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|x-1|>2的解集是______.
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不等式|2x-1|<1的解集为(  )
A.(
1
3
,+∞)
B.(-∞,1)C.(
1
3
,1)
D.(0,1)
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解不等式|x2-7x+12|≤2x-6.
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