(1)a,b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|,(2)已知 |x-a|<c2,|y-b|<c2,求证|(x+y)-(a+b)|<c.
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(1)a,b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|,(2)已知 |x-a|<c2,|y-b|<c2,求证|(x+y)-(a+b)|<c.
题型:不详
难度:
来源:
(1)a,b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|,
(2)已知
|x-a|<
c
2
,|y-b|<
c
2
,求证|(x+y)-(a+b)|<c.
答案
证明:(1)当|a|-|b|≤0时,|a+b|≥|a|-|b|成立,
当|a|-|b|>0时,即证明|a+b|
2
≥(|a|-|b|)
2
,
整理得 a
2
+b
2
+2ab≥a
2
+b
2
-2|ab|.
即证ab≥-|ab|
易知上不等式成立,
所以原不等式也成立.
综上,|a+b|≥|a|-|b|,
(2)∵|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|
由三角不等式得,|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|<
c
2
+
c
2
=c.
∴|(x+y)-(a+b)|<c.
举一反三
已知不等式|x-2|<a(a>0)的解集为{x∈R|-1<x<c},求a+2c的值.
题型:不详
难度:
|
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解关于x的不等式|x
2
-a|<a(a∈R)
题型:不详
难度:
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解关于x的不等式:
①解关于x的不等式|mx-1|<3;
②|2x+3|-1<a(a∈R)
题型:不详
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解不等式
(1)|3x-1|<x+2;
(2)|3x-1|>2-x.
题型:不详
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解不等式
(1)|2x+1|+|3x-2|≥5;
(2)|x-2|+|x-1|≥5.
题型:不详
难度:
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