如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3

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如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥

的体积．

答案

解：（1）证明：连接BD₁，如图，
在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则

平面ABC₁D₁．
（2）

（3）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁且

，
∵

，

∴EF²+B₁F²=B₁E²即∠EFB₁=90°，
∴

举一反三

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2BC，OB=OD，M是OD的中点．求证：
（Ⅰ）直线MC∥平面OAB；
（Ⅱ）直线BD⊥直线OA．

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空间四边形ABCD中，E，F，H，G分别为边AB，AD，BC，CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是（）。

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下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是（）（写出所有符合要求的图形序号）．

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如图，已知四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE

平面BDF；
（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．

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关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m

α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．
其中正确的命题序号是（）。

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如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1； （2）求证：EF⊥B1C； （3