求由约束条件x+y≤52x+y≤6x≥0,y≥0确定的平面区域的面积S和目标函数z=4x+3y的最大值.

求由约束条件x+y≤52x+y≤6x≥0,y≥0确定的平面区域的面积S和目标函数z=4x+3y的最大值.

题型:不详难度:来源:
求由约束条件





x+y≤5
2x+y≤6
x≥0,y≥0
确定的平面区域的面积S和目标函数z=4x+3y的最大值.
答案
由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),其四个顶点为O(0,0),B(3,0),A(0,5),P(1,4).
过P点作y轴的垂线,垂足为C.
则AC=|5-4|=1,PC=|1-0|=1,
OC=4,OB=3,AP=


2

PB=


(4-0)2+(1-3)2
=2


5

得S△ACP=
1
2
AC•PC=
1
2

S梯形COBP=
1
2
(CP+OB)•OC=8.
∴S=S△ACP+S梯形COBP=
17
2

平移直线z=4x+3y,由图象可知当直线z=4x+3y经过点P(1,4),
目标函数z=4x+3y取得最大值,最大值为16.
举一反三
不等式3x-2y-6>0表示的区域在直线3x-2y-6=0的(  )
A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方
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如果实数x、y满足条件





x-y+1≥0
y+1≥0
x+y+1≤0
,则
y-1
x-1
的最小值为______;最大值为______.
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若不等式ax+(2a-1)y+1<0表示直线ax+(2a-1)y+1=0的下方区域,则实数a的取值范围为______.
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设x,y满足约束条件





5x+3y≤15
y≤x+1
x-5y≤3
,则z=3x+5y的最大值是(  )
A.17B.11C.9D.8
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变量x、y满足





x-y+1≤0
x≥0
y≤2
,则z=4x-3y的最大值为______.
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