在R上可导的函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

题型：不详难度：来源：

在R上可导的函数f(x)=x³+ax²+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

答案

解析

函数f(x)的导数为f′(x)=x²+ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x²+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x²+ax+2b的图象与方程x²+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到
在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),
如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),
△ABD的面积为
S_△ABD=|BD|×h=(h为点A到a轴的距离).
点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,
显然(k_CA,k_CB),
即